谢邀。
重新组织了答案，修正几处记忆错误，再补充一点：
百事可乐的历史可以追溯到1894年，几乎跟可口可乐一样悠久（可口可乐诞生于1886年），诞生初期是一种“胃蛋白酶”饮料；到1898年的时候，“百事可乐”这个名称得以确立，在一战时期曾经取得了一定的成功，虽然不如可口可乐，但也在全世界20多个国家发展了有特许经营权的瓶装商。这个时期的百事可乐，虽然一定程度上也借鉴了可口可乐的成功，比如命名，比如特许经营权，但本质上还是与可口可乐完全不同的两种饮料。
百事可乐曾经三次想要卖身给可口可乐未果
第一次是1922年，因为食糖价格波动，百事可乐濒临破产，创始人凯莱布·布拉德汉姆希望把百事卖给可口，然而可口方面不以为然，这时候可口可乐的掌舵人已经是伍德拉夫了，原答案记忆错误，在此修正；
之后，罗伊·梅加格尔收购了百事，又苦苦支撑了几年，中间也经历了公司重组，直到1931年，百事可乐不仅没有振兴，反而跌至了谷底。梅加格尔再次向可口可乐公司提议收购，第二次遭到拒绝。
再之后，纽约人古思接手了百事可乐，古思是一位连锁糖果商店经理人，他原先是可口可乐的销售商，而且业绩不错，他希望可口可乐公司给予他这样的优质批发商更大的折扣，但并没有得到回应，于是古思愤而在自己的商店下架了可口可乐，并且宣称可口可乐“一旦撤架，将永远不得再进入”。
也就是在这期间，古思收购重组了百事可乐公司，并且指示手下的工程师，改变百事可乐原配方，全力模仿可口可乐，随后在自己的零售店全面上架了百事可乐。
古思一开始用了一些狡猾的伎俩，当有顾客点名购买可口可乐的时候，他并不说明，而直接将百事可乐出售给顾客，这引起了可口可乐公司的注意，他们向古思提出警告，但古思反而指控可口可乐“诽谤”。
不过古思虽然表面上硬气，百事可乐的销售依然非常惨淡，到1933年，古思再次与可口可乐公司接触，希望出售百事可乐，第三次遭到拒绝。
商标权之争
收购计划遭到无情拒绝，古思反而痛定思痛，认真规划百事可乐的未来，他的第一个扭亏为盈的办法就是推出了“大瓶更便宜”的策略，改变之前与可口可乐一样的6盎司装，推出了12盎司的大瓶，并首先向蓝领阶层推广，取得了很大成功，仅一年的时间，就实现了盈利。
这中间还有个小插曲，就是古思经营的糖果商店“阁楼”的董事会，意识到古思是在使用商店的资源发展自己的软饮料事业（当然他们也意识到这项事业中的利益），于是通过诉讼抢夺了百事可乐的控制权，经过一场漫长的官司，到1938至1939年，古思被迫出让了91%的百事可乐股票，沃尔特·马克成为新公司董事长，古思依然担任总经理，这两个人成为百事可乐崛起的关键。
与此同时，从1938年开始，可口可乐公司在全世界24个国家，发起了对百事可乐的商标权诉讼。古思的反应是强硬回击，他的最著名策略就是向美国专利局申请，将“Coca”（古柯碱的简称）和“Cola”（可乐果的简称），列为“描述性词汇”，不得作为独有的商标使用，并且还反诉可口可乐用“胁迫、欺诈”手段阻碍百事可乐的正常销售。
然而可口可乐当时已经是如日中天的大公司了，基本把市面上所有仿冒品告了个遍，他们有资金、人脉等方面的绝对优势。百事可乐应诉前景并不乐观。
最终起到决定作用的是百事可乐的新任董事长沃尔特·马克，他在执掌百事可乐之前，就和可口可乐老板罗伯特·伍德拉夫认识。马克首先挖掘出一项重要证据，证明可口可乐在之前的诉讼中曾经向其他仿冒者行贿来获取胜利，成功把诉讼拖入僵局。之后他和伍德拉夫进行了私下会谈，两个人均认为对于商标权的诉讼对双方发展没有好处，随后他们达成了一项协议，即——
可口可乐从此在美国承认百事可乐的商标。
尽管时任可口可乐法务部主管的约翰·西布利（正是他主导了大多数针对仿冒品的商标权诉讼）非常不愿接受，但老板已经拍板，木已成舟，可口可乐对百事可乐的诉讼大多不了了之。
百事最终崛起
沃尔特·马克不仅成功搞定了商标权诉讼，事实证明他也是一位精明的经营者，当他实际接手百事可乐后，采取了一系列行之有效的措施：
继续沿用了“大瓶”策略；设计了红白蓝三色的百事商标并确定蓝色为百事的主色调，为了和可口可乐的红色带来鲜明对比；首先发明了“饮料瓶押金”，他向灌装商提供饮料瓶，并要求灌装商向批发商销售百事可乐的时候收取瓶子押金，以此作为灌装商的启动资金；指导创作了一系列更轻松有趣的百事可乐广告语、广告歌，取得了巨大的宣传效果。与此同时，可口可乐公司错过了重要的反击时机，伍德拉夫拒绝跟进百事的策略推出12盎司大瓶，并为这一次的保守付出了代价。尽管可口可乐依然占据46%的巨大市场份额，然而以百事为领导的“类可乐”饮料份额也急剧增长。
当伍德拉夫发现百事可乐变成一个不容忽视的对手时，他动用人脉，企图以一家汽车公司的主席职位诱使沃尔特·马克离开百事可乐，但遭遇了失败。此时再想收购百事可乐也为时已晚。
至此，沃尔特·马克所谓“美国最根本的竞争”落下帷幕。
紧接着，二战爆发，以可口可乐为代表的软饮料发展进入新的纪元。
总结
毫无疑问，百事可乐确实是以山寨可口可乐起家，但是在发展中逐渐形成了自己的特色，而且事实证明市场是容得下两种相似的软饮料产品的。可口可乐与百事可乐的竞争不仅事关两个品牌的发展，也为商标权法、广告法的完善提供了大量可借鉴的经典案例，同时两者的产品策略、广告策略也成为后世的典范。
——————原答案——————
手机码字，凭记忆答题，有时间我会翻下资料完善。
百事可乐就是山寨了可口可乐，这是有史可查的。
在可口可乐崛起的时期，美国实际上有非常多这一类饮料不断被发明出来，当时很多都带有一些兴奋类物质，人们是当作“万灵药”服用的，认为可以止咳开胃治头痛等等，所以很多人说可乐是咳嗽糖浆其实一点没错。
最早的百事可乐，是一个配方和味道跟可口可乐没有半毛钱关系的饮料，没记错的话宣传的是所谓“胃蛋白酶饮料”，但是经营不善面临破产，于是百事的配方持有者找到了当时执掌可口可乐的阿瑟坎德勒，希望坎德勒收购百事的配方，但当时可口可乐正在上升期，可谓如日中天，根本看不上这个配方，所以一口回绝，可能还嘲讽了百事一番。
于是百事可乐的创始人咽不下这口气，他想尽办法筹钱把百事可乐的生产维持下去，并且全面改变产品策略，目标就是做出跟可口可乐味道一模一样的饮料，并且最后成功了。
但百事最大的成功不在于它味道跟可口可乐像，实际上当时山寨可口可乐的产品一直层出不穷。百事可乐最牛逼的是，它是唯一抵挡住了可口可乐法务部的山寨产品。
其中最大的转折点就在于，百事在与可口的斡旋中，让美国最高法认定“cola”（即可乐）不能作为可口可乐公司的专属产品名，因为“cola”指的是可乐最初的原材料“可乐果”。从此之后其他品牌都可以生产自己的“可乐”。
而可口可乐公司在一系列知识产权和商标法案斗争中，几乎把所有山寨者消灭殆尽，只有百事可乐挺了过来，尽管之后的数十年一直是“老二”，但可口可乐就是拿它没办法。
之后百事可乐抓住了战后生育潮的契机，努力把自己的品牌形象与可口可乐区分开，可口可乐的形象一直是“经典的、令人愉悦的”，百事可乐就努力让自己看起来更酷，而让年轻消费者产生一种可口可乐“老土”的印象，从而发展了一批忠实拥趸，在市场上站稳了脚跟。
因此，严格意义上说，百事就是山寨起家，但是在漫长的斗争岁月里已经形成了自己的品牌。
另外，虽然两家产品线确实是针锋相对，但并不是每个产品都是百事山寨可口，我印象中雪碧应该是可口研制出来对标百事的七喜的，记忆不是很清楚，如果说错请知道的朋友纠正。
